Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ movendo $\frac{2}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Etapa 2.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Etapa 2.8

Mova o limite para o expoente.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Etapa 2.9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Forma decimal:

$7.38967570 \dots$