Cálculo Exemplos

$5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{2}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4}{t^{2}}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2}$ .

$10 t + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$10 t + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 t + 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$10 t + 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10 t + 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 t + 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 3.10

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- 18]$

Etapa 4

Como $- 18$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 18$ em relação a $t$ é $0$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 t - 8 \frac{1}{t^{3}} + 0$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$10 t + \frac{- 8}{t^{3}} + 0$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$10 t - \frac{8}{t^{3}} + 0$

Etapa 5.2.3

Some $10 t - \frac{8}{t^{3}}$ e $0$ .

$10 t - \frac{8}{t^{3}}$