Cálculo Exemplos

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{- t} + e^{t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{- t} + e^{t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- t} + e^{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva ${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ como $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ .

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.2

Expanda $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Multiplique $e^{- t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.1.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $e^{- t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.2.2

Some $- t$ e $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $e^{t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.4.2

Subtraia $t$ de $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.5

Simplifique $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $e^{t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.1.6.2

Some $t$ e $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.3.2

Some $1$ e $1$ .

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Etapa 6.6

Expanda $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $e^{- 2 t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Mova $e^{- t}$ .

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.2.3

Subtraia $2 t$ de $- t$ .

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.4

Multiplique $e^{- 2 t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.1

Mova $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.4.3

Subtraia $2 t$ de $t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.7

Multiplique $e^{2 t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.7.1

Mova $e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.7.3

Some $- t$ e $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Etapa 6.7.9

Multiplique $e^{2 t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.9.1

Mova $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

Etapa 6.7.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

Etapa 6.7.9.3

Some $t$ e $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Etapa 6.8

Subtraia $6 e^{- t}$ de $3 e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Etapa 6.9

Subtraia $3 e^{t}$ de $6 e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$