Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{4})}^{k}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

${(- \frac{3}{4})}^{1} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique.

$- \frac{3}{4} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{3}{4} + 1 \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.10

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.11

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.11.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}$

Etapa 2.1.11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Etapa 2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + 1 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $\frac{3^{4}}{4^{4}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Etapa 2.1.14

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Etapa 2.1.15

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$- (\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64}) + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - (\frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $4$ por $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $16$ por $16$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.9

Reordene os fatores de $64 \cdot 4$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $4$ por $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $- 3$ por $64$ .

$\frac{- 192 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $9$ por $16$ .

$\frac{- 192 + 144 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$\frac{- 192 + 144 - 108 + 81}{256}$

Etapa 2.5

Some $- 192$ e $144$ .

$\frac{- 48 - 108 + 81}{256}$

Etapa 2.6

Subtraia $108$ de $- 48$ .

$\frac{- 156 + 81}{256}$

Etapa 2.7

Some $- 156$ e $81$ .

$\frac{- 75}{256}$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{75}{256}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{75}{256}$

Forma decimal:

$- 0.29296875$