Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.6.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + 0}$

Etapa 3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2 x + 4$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 4}{2 x}$

Etapa 4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

Etapa 4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Etapa 4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 (x)}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 + 2}{1}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Divida $1 + 2$ por $1$ .

$1 + 2$

Etapa 9.2

Some $1$ e $2$ .

$3$