Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - lim_{x \to 0} \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $\sqrt{5}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Some $0$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $\sqrt{5}$ de $\sqrt{5}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 5}]$ .

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.14

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

Como $- \sqrt{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sqrt{5}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Some $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 5

Reescreva ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} \cdot 1$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x + 5}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}}$

Etapa 6.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 5}}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 5}}$

Etapa 6.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5}}$

Etapa 6.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 5}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 5}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Some $0$ e $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 8.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 8.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 8.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 8.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 8.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{5}}{10}$

Forma decimal:

$0.22360679 \dots$