Cálculo Exemplos

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ como $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Etapa 1.2

Expanda $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Reordene $\tan (2 x)$ e $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Reescreva $\tan (2 x) \cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.2.3

Cancele os fatores comuns.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Reescreva $\cot (2 x) \tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.4.1

Eleve $\cot (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.4.2

Eleve $\cot (2 x)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

Etapa 1.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 4

Combine $\tan^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (u_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 9

Como a derivada de $\tan (u_{1})$ é $\sec^{2} (u_{1})$ , a integral de $\sec^{2} (u_{1})$ é $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 12

Combine $\cot^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (u_{2})$ como $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 15

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 17

Como a derivada de $- \cot (u_{2})$ é $\csc^{2} (u_{2})$ , a integral de $\csc^{2} (u_{2})$ é $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

Etapa 18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

Etapa 18.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Para escrever $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 18.2.2

Combine $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 18.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 18.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Etapa 18.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.5.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Etapa 18.2.5.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Etapa 18.2.6

Multiplique $- u_{2} - \cot (u_{2})$ por $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Etapa 19

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Etapa 19.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 20.1.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 20.2

Divida $x$ por $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 20.3

Some $- x$ e $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 20.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

Etapa 21

Reordene os termos.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$