Cálculo Exemplos

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Etapa 1.2

Fatore $\sin^{3} (x)$ de $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Etapa 1.3

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Etapa 1.4

Converta de $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ em $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Etapa 1.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Etapa 2

Escreva $\cot^{3} (x)$ como $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \csc (x)$ . Depois, $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , então, $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \csc (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Etapa 4.1.3

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Etapa 5

Multiplique $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$