Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{24}{x^{2} + 12}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{24}{x^{2} + 12}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 12})$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 12}$ como ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{- 1})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$f' (x) = - 24 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Etapa 1.3.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f' (x) = - 48 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 48 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $- 48$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.4

Mova $48$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 12)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 12$ de $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 12$ de $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.1

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.9

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.16

Combine $- 48$ e $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(48) (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18

Simplifique.

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Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2

Multiplique $48$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 144 x^{2} + 576$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 144 x^{2}) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.3

Como $- 144$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 144 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 144 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 (2 x) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $- 144$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.6

Como $576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $576$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + 0) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.7

Some $- 288 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 {(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) (2 \cdot ({(x^{2} + 12)}^{2} x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot 0$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1

Multiplique $\frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ por $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + 0$

Etapa 3.5.7.2

Some $- \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$ e $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.1.2

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de $(- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.1.3

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) - 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Multiplique $- 144$ por $- 6$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.2.2

Multiplique $- 6$ por $576$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} \cdot - 288 + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.3.2

Mova $- 288$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 \cdot x^{2} + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.3.3

Multiplique $12$ por $- 288$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 x^{2} - 3456 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.4

Some $- 288 x^{2}$ e $864 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 3456 - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.5

Subtraia $3456$ de $- 3456$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.6

Fatore $576$ de $576 x^{2} - 6912$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.6.1

Fatore $576$ de $576 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2}) - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.6.2

Fatore $576$ de $- 6912$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} + 576 \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.2.6.3

Fatore $576$ de $576 x^{2} + 576 \cdot - 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x \cdot (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.3

Combine os termos.

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Etapa 3.6.3.1

Mova $576$ para a esquerda de ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

$f''' (x) = - \frac{576 \cdot (({(x^{2} + 12)}^{2} x) (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ e ${(x^{2} + 12)}^{6}$ .

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Etapa 3.6.3.2.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2}$ de $576 {(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} - 12)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.3.2.2.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{2}$ de ${(x^{2} + 12)}^{6}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 3.6.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 3.6.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = - \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$ em relação a $x$ é $- 576 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{d}{d x} \frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 4.2

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.5.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.5.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.9.1

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.9.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.9.3.1

Multiplique $x^{2} - 12$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.9.3.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Etapa 4.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 {(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.11

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.11.2

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.2.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12)$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.11.2.2

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de $- 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.11.2.3

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{8}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.15

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.16

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.16.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.16.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x (x^{2} - 12) x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.20

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.21

Combine $- 576$ e $\frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{(576) ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23

Simplifique.

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Etapa 4.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.23.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.23.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.23.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2} - 12) + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.23.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.23.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.23.3.1.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.3

Mova $- 12$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 \cdot x^{2} + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.5

Multiplique $12$ por $- 12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.2

Some $- 12 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + 24 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4}) + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.23.3.1.4.1

Multiplique $3$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4.2

Multiplique $24$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4.3

Multiplique $576$ por $- 144$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.23.3.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2 + 2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{4}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.6

Multiplique $- 8$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.7

Multiplique $- 12$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (96 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.8

Multiplique $96$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.2

Subtraia $4608 x^{4}$ de $1728 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.3

Some $13824 x^{2}$ e $55296 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.4

Fatore $576$ de $- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944$ .

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Etapa 4.23.4.1

Fatore $576$ de $- 2880 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.2

Fatore $576$ de $69120 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.3

Fatore $576$ de $- 82944$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.4

Fatore $576$ de $576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.5

Fatore $576$ de $576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.5

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.6

Fatore $- 1$ de $120 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.7

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.8

Reescreva $- 144$ como $- 1 (144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 \cdot 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.9

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 (144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.10

Reescreva $- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ como $- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 4.23.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}})$

Etapa 4.23.13

Multiplique $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$