Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{- 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$4 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$- 12 x^{- 4}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 12}{x^{4}}$

Etapa 3.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{12}{x^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{12}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 12 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 4.4

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$48 x^{- 5}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.5.2

Combine $48$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{x^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{48}{x^{5}}$ .

$\frac{48}{x^{5}}$