Cálculo Exemplos

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x^{2} - 1$ e $g (x) = 2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.7

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.9

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $14 x$ e $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

Etapa 1.2.11.2

Mova $14$ para a esquerda de $2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $6$ por $7$ .

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.6

Some $- 6 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $2$ por $14$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.10

Some $1$ e $3$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Etapa 1.3.6.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Etapa 1.3.6.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

Etapa 1.3.6.14

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

Etapa 1.3.6.15

Some $42 x^{4}$ e $28 x^{4}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

Etapa 1.3.6.16

Some $x^{2}$ e $14 x^{2}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $70 x^{4}$ em relação a $x$ é $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $70$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $280 x^{3} + 30 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $280 x^{3} + 30 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $280$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $280 x^{3}$ em relação a $x$ é $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $280$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $30$ por $1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $840 x^{2} + 30$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $840$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $840 x^{2}$ em relação a $x$ é $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $840$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

Etapa 4.3.2

Some $1680 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x$