Cálculo Exemplos

$y = e^{- x} + e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.2.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 3.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 3.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 4.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 4.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$