Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x - x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

Etapa 1.1.1.5

Multiplique $x$ por $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (1 - x)$ por $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.5.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Etapa 1.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B x$

Etapa 1.1.7.3

Mova $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 1.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = 1$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 1.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$