Cálculo Exemplos

Avalie a Integral integral de 1/(x(x^2+1)) com relação a x
Etapa 1
Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.
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Etapa 1.1
Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.
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Etapa 1.1.1
Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.
Etapa 1.1.2
Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é .
Etapa 1.1.3
Cancele o fator comum de .
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Etapa 1.1.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.1.4
Cancele o fator comum de .
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Etapa 1.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.1.5
Simplifique cada termo.
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Etapa 1.1.5.1
Cancele o fator comum de .
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Etapa 1.1.5.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.5.1.2
Divida por .
Etapa 1.1.5.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.5.3
Multiplique por .
Etapa 1.1.5.4
Cancele o fator comum de .
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Etapa 1.1.5.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.5.4.2
Divida por .
Etapa 1.1.5.5
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.1.5.6
Multiplique por somando os expoentes.
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Etapa 1.1.5.6.1
Mova .
Etapa 1.1.5.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.1.6
Mova .
Etapa 1.2
Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.
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Etapa 1.2.1
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 1.2.2
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 1.2.3
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 1.2.4
Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.
Etapa 1.3
Resolva o sistema de equações.
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Etapa 1.3.1
Reescreva a equação como .
Etapa 1.3.2
Reescreva a equação como .
Etapa 1.3.3
Substitua todas as ocorrências de por em cada equação.
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Etapa 1.3.3.1
Substitua todas as ocorrências de em por .
Etapa 1.3.3.2
Simplifique o lado direito.
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Etapa 1.3.3.2.1
Remova os parênteses.
Etapa 1.3.4
Resolva em .
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Etapa 1.3.4.1
Reescreva a equação como .
Etapa 1.3.4.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.3.5
Resolva o sistema de equações.
Etapa 1.3.6
Liste todas as soluções.
Etapa 1.4
Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em pelos valores encontrados para , e .
Etapa 1.5
Simplifique.
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Etapa 1.5.1
Remova os parênteses.
Etapa 1.5.2
Simplifique o numerador.
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Etapa 1.5.2.1
Reescreva como .
Etapa 1.5.2.2
Some e .
Etapa 1.5.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2
Divida a integral única em várias integrais.
Etapa 3
A integral de com relação a é .
Etapa 4
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 5
Deixe . Depois, , então, . Reescreva usando e .
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Etapa 5.1
Deixe . Encontre .
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Etapa 5.1.1
Diferencie .
Etapa 5.1.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 5.1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.5
Some e .
Etapa 5.2
Reescreva o problema usando e .
Etapa 6
Simplifique.
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Etapa 6.1
Multiplique por .
Etapa 6.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 7
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 8
A integral de com relação a é .
Etapa 9
Simplifique.
Etapa 10
Substitua todas as ocorrências de por .