Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (t) \tan (t)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $\sec (t) \tan (t)$ de $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ como ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 10

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 12.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Etapa 13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Etapa 13.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

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Etapa 13.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 13.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$