Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 3

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.4

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.5.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.7

Subtraia $2$ de $3$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5.8

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{6}}$ com relação a $x$ é $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$