Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 3 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra do produto a $3 (\sec (t))$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $3$ de $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $3$ de $27 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.5

Combine $3$ e $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.6

Combine $\sec (t)$ e $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.8

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.9

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.11

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.12

Mova $3$ para a esquerda de $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.13

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

Fatore $3$ de $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.2.1

Fatore $3$ de $9 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Etapa 2.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Etapa 2.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.14

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ e $\sec^{3} (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Etapa 2.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $3 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Etapa 2.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Etapa 2.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ como ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Etapa 4.2

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Etapa 4.3

Reescreva $\tan (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Etapa 4.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Etapa 4.5

Escreva $\cos (t)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Etapa 4.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 12

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 16.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Combine $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Etapa 17.3

Combine $\frac{1}{6}$ e $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Etapa 17.4

Multiplique $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.4.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Etapa 17.4.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$