Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 2 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Aplique a regra do produto a $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.8

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 3.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.9

Reescreva $64 \cos^{6} (t)$ como ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2 \cos (t)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $2 \cos (t)$ de $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.2.5

Converta de $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ em $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Etapa 8

Simplifique.

$- t + \tan (t) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$