Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} d x$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{9 + {(x^{3})}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{9 + u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(9 + u^{2}) \cdot 3} d u$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $9 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 (9 + u^{2})} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{9 + u^{2}} d u$

Etapa 5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{3^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{u}{3})$ .

$\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$