Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{4} + x - 4}{x^{2} + 2} d x$

Etapa 1

Divida $x^{4} + x - 4$ por $x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 0 + 2 x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$2 x^{2}$
									-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
									-	$2 x^{2}$	+	$0$	-	$4$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 0 - 4$ .

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$2 x^{2}$
									-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
									+	$2 x^{2}$	-	$0$	+	$4$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{2}$

$0$

$4$

$x$

$0$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x^{2} - 2 + \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x^{2} + 2$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 5.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$