Cálculo Exemplos

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 6}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Etapa 4.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Etapa 6.2

Separe as frações.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Etapa 6.3

Converta de $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ em $\csc^{5} (x)$ .

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Etapa 6.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Etapa 6.6

Reordene os termos.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$