Cálculo Exemplos

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Etapa 2

Mova $t^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4

Expanda $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.4

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 4.6.2

Subtraia $1$ de $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 6

Como $27$ é constante com relação a $t$ , mova $27$ para fora da integral.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{8}{3}}$ com relação a $t$ é $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $t$ é $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $27$ e $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $27$ por $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$