Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Etapa 1

Divida $3 x^{2} - 10$ por $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $2$ de $12 x - 22$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Fatore $2$ de $12 x$ .

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 4.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 22$ .

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 4.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (6 x) + 2 (- 11)$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.1.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Etapa 4.1.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 4.1.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Etapa 4.1.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 4.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.5.2

Divida $2 (6 x - 11)$ por $1$ .

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.7

Multiplique.

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Etapa 4.1.7.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.8.1

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.8.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Etapa 4.1.8.2

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

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Etapa 4.1.8.2.1

Fatore $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 4.1.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.8.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 4.1.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Etapa 4.1.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Etapa 4.1.8.2.2.4

Divida $B (x - 2)$ por $1$ .

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

Etapa 4.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

Etapa 4.1.8.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

Etapa 4.1.9

Reordene $A$ e $B x$ .

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$12 = B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 22 = A - 2 B$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $B = 12$ .

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $12$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 22 = A - 2 B$ por $12$ .

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

Etapa 4.3.3

Resolva $A$ em $- 22 = A - 24$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $A - 24 = - 22$ .

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

Etapa 4.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.3.2.1

Some $24$ aos dois lados da equação.

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

Etapa 4.3.3.2.2

Some $- 22$ e $24$ .

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 2 B = 12$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 12$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

Etapa 4.5

Remova o zero da expressão.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Etapa 10

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 11.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$