Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Etapa 1

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Avalie $\ln (| \sin (x) |)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Etapa 3.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Etapa 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ é aproximadamente $0.70710678$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 3.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.34657359 \dots$