Cálculo Exemplos

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\sec^{4} (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Etapa 12.4

Combine.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Etapa 12.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $\tan^{3} (5 x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Etapa 12.5.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$