Cálculo Exemplos

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

Etapa 1

Divida $t$ por $t + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$1$

$t$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t + 1$ .

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 5

Deixe $u = t + 1$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = t + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$t - \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 1$ .

$t - \ln (| t + 1 |) + C$