Cálculo Exemplos

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\cot^{3} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

Etapa 4

Aplique a fórmula da redução.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

Etapa 5

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

Etapa 6

Reescreva $\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\cot^{2} (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| \sin (2 x) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5.2

Combine.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5.3

Multiplique $\cos^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5.5

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ .

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Etapa 8.5.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.5.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.6.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6.2

Multiplique por $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6.3

Separe as frações.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6.4

Converta de $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ em $\cot^{2} (2 x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 8.6.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cot^{2} (2 x)$ .

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$