Cálculo Exemplos

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 x + 9$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 x + 9$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $e^{\sqrt{u_{1}}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , então, $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 6

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u_{2}$ e $dv = e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x + 9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Etapa 11.2

Fatore $3$ de $3 x + 9$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Etapa 11.2.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Etapa 11.2.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Etapa 11.3

Fatore $3$ de $3 x + 9$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

Etapa 11.3.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

Etapa 11.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.1

Fatore $3$ de $3 x + 9$ .

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Etapa 11.4.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.1.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.1.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.2

Multiplique $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ .

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Etapa 11.4.2.1

Combine $\sqrt{3 (x + 3)}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.2.2

Combine $\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ e $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3 (x + 3)}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Etapa 11.4.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Etapa 11.6

Fatore $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ de $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

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Etapa 11.6.1

Fatore $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ de $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Etapa 11.6.2

Fatore $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ de $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

Etapa 11.6.3

Fatore $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ de $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$