Cálculo Exemplos

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{x}$ e $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (4 x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - \int e^{x} (4 \cos (4 x)) d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\sin (4 x) e^{x} - (4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int \cos (4 x) e^{x} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (4 x)$ e $d v = e^{x}$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - \int e^{x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Etapa 6

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - (- 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x))$

Etapa 7

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} + 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 4 (4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

Etapa 7.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 16 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17} + C$

Etapa 9

Reescreva $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}}{17} + C$ como $\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$