Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \ln (u) d u$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $u$ e $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (u) u - \int d u$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\ln (u) u - (u + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\ln (u) u - u + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$