Cálculo Exemplos

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = - 3 x$ . Depois, $d u_{1} = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\sec (e^{u_{1}})$ e $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Etapa 2.4

Combine $\tan (e^{u_{1}})$ e $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6

Como a derivada de $\sec (u_{2})$ é $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , a integral de $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ é $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Etapa 8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Etapa 8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$