Cálculo Exemplos

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{4 x}$ e $\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (5 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4} \cdot 5$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot 5$ para fora da integral.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\sin (5 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{4 x}$ e $\cos (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (5 x)$ e $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4} \cdot - 5$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4} \cdot - 5$ para fora da integral.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{- 5}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 7.8

Multiplique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 7.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Etapa 9.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{41}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ como $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ .

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.3.2

Combine $\frac{\sin (5 x)}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.3.3

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.3.4

Combine $e^{4 x}$ e $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.3.5

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.4

Simplifique.

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Etapa 9.4.1

Reordene os fatores em $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.2.1

Reescreva.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.4.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.4.2.3

Remova os parênteses desnecessários.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

Etapa 9.4.3

Mova $5$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$