Cálculo Exemplos

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{- 3 x}$ e $\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{- 3 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (5 x)$ e $d v = e^{- 3 x}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{3} \cdot 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{3} \cdot 5$ para fora da integral.

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\sin (5 x)$ e $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Etapa 4.5

Reordene $e^{- 3 x}$ e $\cos (5 x)$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int \cos (5 x) e^{- 3 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (5 x)$ e $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Etapa 6

Como $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ para fora da integral.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Combine $e^{- 3 x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.3

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.4

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 5}{3}) \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $\frac{- 5}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{- 5}{3}$ por $\frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.8

Multiplique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Etapa 7.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 5}{3}) (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Etapa 7.8.3

Multiplique $\frac{- 5}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 5}{3} (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Etapa 7.9

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{- 5}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{5 \cdot - 5}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 7.10

Multiplique.

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Etapa 7.10.1

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 7.10.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Etapa 9.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{34}{9}$ .

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$ como $(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$ .

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $\sin (5 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$(- \frac{\sin (5 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.3.2

Combine $e^{- 3 x}$ e $\frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.3.3

Combine $\cos (5 x)$ e $\frac{5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.3.4

Combine $e^{- 3 x}$ e $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.3.5

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.4

Simplifique.

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Etapa 9.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1.1

Reescreva.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.4.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.4.1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Etapa 9.4.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{- 3 x}$ .

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (5 x) - \frac{5}{9} e^{- 3 x} \cos (5 x)) \frac{9}{34} + C$