Cálculo Exemplos

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Etapa 1

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 - 4 x^{2}$ . Depois, $d u = - 8 x d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 - 4 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 3.2

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 7.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\int \sqrt[3]{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 7.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$