Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 1

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Etapa 1.1.2

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Etapa 1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Etapa 1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Etapa 1.5.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 5 - - 4$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Etapa 1.5.2.2

Some $5$ e $4$ .

$e = 9$

Etapa 1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.2

Reordene $- 9 \sin^{2} (t)$ e $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.3

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.4

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.5

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.7

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 4.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 4.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 14

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 16.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 16.4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Etapa 16.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Etapa 17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Etapa 17.3

Combine $\frac{9}{2}$ e $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Etapa 17.4

Multiplique $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.4.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 17.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$