Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

Etapa 1

Deixe $u = 7 x^{2} + 3$ . Depois, $d u = 14 x d x$ , então, $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 7 x^{2} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$14 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $14 x$ e $0$ .

$14 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

Etapa 2.2

Mova $14$ para a esquerda de $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Combine $d$ e $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

Etapa 4.1.2

Combine $x$ e $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Mova $u^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 5}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Combine $u^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Etapa 6.1.2

Mova $u^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ como $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{14}$ e $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{x}{14}$ e $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Etapa 6.3.3

Multiplique $\frac{x d}{14}$ por $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

Etapa 6.3.4

Multiplique $4$ por $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$