Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 1.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Etapa 4

Multiplique $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $u^{5}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 5.2

Multiplique $u^{5}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Etapa 5.2.2

Some $5$ e $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ e $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ em $\sqrt{3}$ e em $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

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Etapa 10.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 10.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.3

Combine $\frac{1}{6}$ e $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.4

Cancele o fator comum de $27$ e $6$ .

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Etapa 10.2.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.4.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{8}$ como $3^{4}$ .

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Etapa 10.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 10.2.5.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.5.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.5.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.7

Combine $\frac{1}{8}$ e $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.8

Para escrever $\frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.9.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.11.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.11.2

Some $36$ e $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.13

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Etapa 10.2.14

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Etapa 10.2.15

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Etapa 10.2.16

Some $0$ e $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Etapa 10.2.17

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Etapa 10.2.18

Some $\frac{117}{8}$ e $0$ .

$\frac{117}{8}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{117}{8}$

Forma decimal:

$14.625$

Forma de número misto:

$14 \frac{5}{8}$