Cálculo Exemplos

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Etapa 3

Combine $\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 14

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 16.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

Etapa 17.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 17.3.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.3.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Etapa 17.5

Multiplique $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

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Etapa 17.5.1

Multiplique $\frac{3}{10}$ por $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

Etapa 17.5.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$