Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{9} \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Etapa 1.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 9 - 1$

Etapa 1.5

Subtraia $1$ de $9$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{8}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $8$ e em $2$ .

$\ln (| 8 |) - \ln (| 2 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 8 |}{| 2 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $8$ é $8$ .

$\ln (\frac{8}{| 2 |})$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{8}{2})$

Etapa 5.3

Divida $8$ por $2$ .

$\ln (4)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (4)$

Forma decimal:

$1.38629436 \dots$

Etapa 7