Cálculo Exemplos

$\int 6 x^{5} \sin (x^{6}) d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int x^{5} \sin (x^{6}) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{6}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{3}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$6 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ e $\sin ({u_{1}}^{3})$ .

$6 \int \frac{{u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3})}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Depois, $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 7

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9.3

Multiplique $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{3}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{3}) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$- \cos ({(x^{2})}^{3}) + C$