Cálculo Exemplos

$\int 4 \sin^{2} (x) d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 4.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 8

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 9

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 11

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$2 (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 12

Simplifique.

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ para o numerador.

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum.

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 14.3.3

Reescreva a expressão.

$2 x - \sin (2 x) + C$