Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5}{x - 3} d x$

Etapa 1

Divida $x^{3} - 3 x^{2} + 5$ por $x - 3$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$5$

Etapa 1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x^{2} + \frac{5}{x - 3} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{x - 3} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| x - 3 |) + C$