Cálculo Exemplos

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 3 y$ . Depois, $d u_{1} = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 3 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Etapa 3

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Etapa 5

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 5 y$ . Depois, $d u_{2} = 5 d y$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 5 y$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Etapa 6.1.2

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 7

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$