Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} e^{u} d u$

Etapa 3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{1}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $e^{u}$ em $1$ e em $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Simplifique.

$e - e^{0}$

Etapa 4.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e - 1$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e - 1$

Forma decimal:

$1.71828182 \dots$