Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

Etapa 1

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Avalie $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 2.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ é aproximadamente $2.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Etapa 2.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Etapa 2.3.3

Divida $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$0.88137358 \dots$