Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 8 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 8 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $8$ e $0$ .

$u_{lower} = 8$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 2.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Etapa 2.5.1.5

Avalie o expoente.

$u_{upper} = 8 + 19$

Etapa 2.5.2

Some $8$ e $19$ .

$u_{upper} = 27$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $27$ e em $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $3$ por $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 7.2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 7.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 7.2.10

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Etapa 7.2.11

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Etapa 7.2.12

Combine $- 16$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Etapa 7.2.13

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Etapa 7.2.14

Cancele o fator comum de $- 48$ e $4$ .

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Etapa 7.2.14.1

Fatore $4$ de $- 48$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Etapa 7.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.14.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Etapa 7.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Etapa 7.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Etapa 7.2.14.2.4

Divida $- 12$ por $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Etapa 7.2.15

Para escrever $- 12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 7.2.16

Combine $- 12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Etapa 7.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.18.1

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Etapa 7.2.18.2

Subtraia $48$ de $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Etapa 7.2.19

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.2.20

Multiplique $7$ por $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.2.21

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1365}{8}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1365}{8}$

Forma decimal:

$170.625$

Forma de número misto:

$170 \frac{5}{8}$

Etapa 9