Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Etapa 1.5

Reescreva ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ como $\sqrt{π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{π}$ como $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Etapa 1.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $π^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Etapa 4.5

Reescreva ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π^{1}$

Etapa 4.5.5

Simplifique.

$u_{upper} = π$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Etapa 9

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Etapa 10.3

Some $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Etapa 10.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Etapa 11.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 11.2

Divida $0$ por $4$ .

$0$