Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x^{4} + 1$ . Depois, $d u = 8 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x^{4} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $8 x^{3}$ e $0$ .

$8 x^{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $3$ e em $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

Etapa 5.2.6

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 5.2.7

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 5.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Etapa 5.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Etapa 5.2.9.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{26}{3}$ .

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{26}{24}$

Etapa 5.2.12

Cancele o fator comum de $26$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.12.1

Fatore $2$ de $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

Etapa 5.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.12.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Etapa 5.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Etapa 5.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{12}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{13}{12}$

Forma decimal:

$1.08\overline{3}$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{12}$

Etapa 7