Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ como $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Etapa 1.1.2.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.1.2.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Etapa 1.1.2.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Etapa 1.3.4

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Etapa 1.3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Etapa 1.5.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Etapa 1.5.4

Some $- 1$ e $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.5.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $0$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Etapa 3.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.5

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$

Etapa 5