Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $x (- e^{- x})$ em $1$ e em $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Etapa 7.2

Avalie $e^{u}$ em $- 1$ e em $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.6

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.7

Some $- e^{- 1}$ e $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 7.3.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

Etapa 8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

Etapa 8.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

Etapa 8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{2}{e}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$1 - \frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.26424111 \dots$

Etapa 10